REGULACIÓN AUTOMÁTICA

La regulación automática es una rama de la ingeniería que se ocupa del control de un proceso en un estado determinado; por ejemplo, mantener la temperatura de una calefacción, el rumbo de un avión o la velocidad de un automóvil en un valor establecido.

La regulación automática, también llamada Teoría de control, estudia el comportamiento de los sistemas dinámicos, tratándolos como cajas o bloques con una entrada y una salida. En general, la entrada al sistema es una señal analógica o digital que se capta en algún punto del sistema. Los bloques intermedios representan las diversas acciones perturbadoras que afectan a la señal, como rozamientos en los actuadores, así como el efecto de los elementos de control interpuestos, los reguladores. Estos efectos se suelen representar mediante las funciones matemáticas que los describen, llamadas funciones de transferencia. La salida del sistema se llama referencia y corresponde al valor de la señal tras actuar sobre ella las anteriores funciones de transferencia. Cuando una o más de las variables de salida de un sistema tienen que seguir el valor de una referencia que cambia con el tiempo, se necesita interponer un controlador que manipule los valores de las señales de entrada al sistema hasta obtener el valor deseado de salida.

SISTEMAS DE CONTROL

        Un sistema de control está definido como un conjunto de componentes que pueden regular su propia conducta o la de otro sistema con el fin de lograr un funcionamiento predeterminado, de modo que se reduzcan las probabilidades de fallos y se obtengan los resultados buscados.

        Los sistemas de control se usan típicamente en sustituir un trabajador pasivo que controla una determinado sistema (eléctrico, mecánico, etc.) con una posibilidad nula o casi nula de error, y un grado de eficiencia mucho más grande que el de un trabajador. Los sistemas más modernos en ingeniería automatizan procesos en base a muchos parámetros y reciben el nombre de controladores de automatización programables (PAC). Los sistemas deben ser estables y robustos frente a perturbaciones y errores en los modelos y ser eficiente según un criterio prestablecido evitando comportamientos bruscos e irreales.

FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

Las especificaciones más importantes para un sistema de control son:

ESTABILIDAD

RAPIDEZ

PRECISIÓN

Donde,

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

       Un sistema lineal de primer orden con una variable de entrada, “x(t)=Vi”, y una variable salida, “y(t)=Vo” puede ser representado pelo circuito abajo e se modela matemáticamente con una ecuación que en función de parámetros de significado dinámico se escribe en la siguiente forma: 

Siendo,  τ una constante de tiempo y  K la ganancia en estado estacionario del sistema. Estos dos parámetros se calculan con ecuaciones en función de características físicas del sistema. La constante de tiempo expresa un atraso dinámico y la ganancia es el cambio último en la variable de salida con respecto al cambio último en la variable de entrada.

MODELOS MATEMATICOS

         Un modelo  son las distintas formas de representar el movimiento de un sistema físico. Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real. La formulación de un modelo matemático implica:

• Identificar las variables causantes del cambio de un sistema.
• Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema (leyes empíricas aplicables). Las hipótesis de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más variables que intervienen. El enunciado matemático de esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.

ECUACIÓN DIFERENCIAL

        Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en ecuaciones diferenciales ordinarias, aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente, y ecuaciones en derivadas parciales, aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos.

Se pueden dar de dos formas:

• Forma explícita: La derivada de orden máximo está despejada.
• Forma implícita: Todos los elementos de la ecuación diferencial a un lado, igualado a cero.

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

             La función de trasferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas.

            El pico formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente.

            Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por la deconvolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del sistema considerado. De forma que el proceso de contar con la función de transferencia del sistema a través de la deconvolución, se logra de forma matricial o vectorial, considerando la pseudoinversa de la matriz o vector de entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento del sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque solo baste ver que la convolución discreta es representada por un producto de un vector o matriz fija respecto de una matriz o vector móvil, o que en forma tradicional se observa como una sumatoria.

RESPUESTA EN FRECUENCIA

               La respuesta de un sistema, en estado estacionario, ante una entrada sinusoidal se la conoce como respuesta en frecuencia.

         Interesa conocer la respuesta ante una entrada sinusoidal ya que una señal real periódica será en general una poliarmónica, la que a su vez se podrá descomponer en series de senos y cosenos donde se tendrá en cuenta las funciones pares o impares, análisis de Fourier mediante, luego si el sistema es lineal se analizarán las sinusoides por separado. 

Sea la siguiente entrada sinusoidal y su correspondiente transformada de Laplace:

              Se define que para un sistema como el indicado la transferencia sinusoidal se obtiene cuando se reemplaza “s” por “jω”, lo que equivaldría a decir que la transferencia sinusoidal tiene en cuenta solo la parte imaginaria de s, o que toma un imaginario puro. 

PRACTICAS

DIAGRAMA DE NYQUIST 

          Es un grafico en C (complexo) de la fución G (función de transferencia). El diagrama de Nyquist nos permite predecir la estabilidad y la performance de un sistema a lazo cerrado observando su comportamiento a lazo abierto. El criterio de Nyquist puede usarse para propósitos de diseño independientemente de la estabilidad a lazo abierto. Por lo tanto, usamos este criterio determinar estabilidad a lazo cerrado cuando los diagramas de Bode muestran información confusa.

           El grafico puede ser hecho manualmente (tablas de valores) y con Matlab (con la función nyquist).

Manual:

Matlab:

num= [0 1]

den= [1 1]

G=tf(num, den)

nyquist(G)

num =

     0     1


den =

     1     1


Transfer function:
  1
-----
s + 1

DIAGRAMA DE BODE

          El diagrama de Bode es un tipo de representación gráfica de funciones complejas (en nuestro caso, funciones de transferencia) dependientes de una variable real (la frecuencia angular o lineal). En un diagrama de Bode se representa por un lado el módulo de la función ( G(ω) ) y por otro la fase (ϕ(ω) ).

s=tf('s');g=1/(s+1);bode(g);

s=tf('s');g=1/(s+1);bode(g,{0.3,200});

s=tf('s');g=1/(s+1);-1;

w=logspace(-1,3,200);

bode(g),grid;

LUGAR DE LAS RAICES 

          En teoría de control, el lugar de raíces o lugar de las raíces (del inglés, root locus) es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo. El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto. El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad (BIBO stability). (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s (en el caso de sistemas continuos) o dentro del círculo unitario del plano z (para sistemas discretos).)

CONTROLADOR LATERAL Y LONGITUDINAL DEL BOEING 767

ESTUDIOS HECHOS ANTES DE EMPEZAR EL POYECTO

El trabajo tiene como objetivo la  construción y simulación de dos controladores para un Boeing 767, un para el control lateral y el otro para el control longitudinal.

DIAGRAMA DE BLOQUES DE LOS CONTROLADORES

Antes de empezar el trabajo de los controladores hemos hecho un estudio de aeronaves en general:

Componentes básicos de un avión son:

Sistema de coordenadas:

Movimentos del avión:

Al mirar la imagen arriba podemos ver que los parámentros indicados son:

Partes del avión responsables por el movimiento y control:

Donde,

• δ_T  THRUST  - Propulsores, fuerza de los motores.
• δ_E  ELEVATOR  - Superficies de control en la parte trasera de la aeronave utilizadas para el pitch y control de altitud.
• δ_A AILERON  -  Aletas de control unidas al borde de salida del ala utilizadas para el control del roll / bank.
• δ_F  FLAPS  -  Superficies con aletas móviles en el borde de fuga de las alas utilizadas para el frenado y para bank-to-turn.
• δ_R  RUDDER  -  Superficie de control vertical en la parte trasera del avión utilizada para torcer.

Vectores de estado del Boeing 767:

Las condiciones consideradas en el momento de calcular las matrices del modelo interno del Boeing 767 fueran:

Velocidad de 980 km/h ou 890 ft/s

Altitud de 35000 ft

Masa de 184000 lbs

Numero de Mach de 0.8 (una aeronave subsónica)

Matrices del Model Longitudinal

Matrices del Model Lateral

DESARROLLO DEL PROYECTO EN MATLAB

Con todos las informaciones necesarias para la construcción de los controladores las seguintes etapas fueron hechas:

• Las matrices a e b de los modelos longitudinal e lateral fueran metidas en el MatLab para el calculo de las constantes K de los controladores:

%Modelo Longitudinal

a=[-0.0168  0.1121  0.0003  -0.5608

   -0.0164  -0.7771 0.9945  0.0015

   -0.0417  -3.6595 -0.9544 0

   0    0   1   0];

b=[-0.0243  0.0519

    -0.0634 -0.0005

    -3.6942 0.0243

    0   0];

pc1=eig(a) % polos calculados con la funcion eig (los polos calculados por la función tornaran el sistema instable y no fueron usados)

Kpc1=place(a,b,pc1)

p1=[-2-1.5*i;-2+1.5*i;-1.5+2*i;-1.5-2*i]; % polos deseados (los polos usados fueron estos)

K1=place(a,b,p1)

%Modelo Lateral

c=[-0.1245  0.0350  0.0414  -0.9962

   -15.2138 -2.0587 0.0032  0.6458

   0    1   0   0.0357

   1.6447   -0.0447 -0.0022 -0.1416];

d=[-0.0049  0.0237

   -4.0379  0.9613

   0    0

   -0.0568  -1.2168];

pc2=eig(c) % polos calculados con la funcion eig (los polos calculados por la función tornaran el sistema estable y fueron usados)

Kpc2=place(c,d,pc2)

p2=[-1-i;-1+i;-2+2*i;-2-2*i];% polos deseados

K2=place(c,d,p2)

donde p1 y pc2 son los polos de los dos sistemas y place es la función del Matlab que calcula las constantes.

Como respuesta el Matlab ha apresentado:

pc1 =

  -0.8678 + 1.9061i

  -0.8678 - 1.9061i

  -0.0064 + 0.0593i

  -0.0064 - 0.0593i

Kpc1 =

    0.2150    0.0236    0.0095   -0.0829

    0.2998   -0.8463    1.0654  -10.3774

K1 =

    0.1742    6.5641   -1.6453   -9.7812

   45.2078  569.3838 -101.5472 -837.9962

pc2 =

  -2.0863          

  -0.1121 + 1.4996i

  -0.1121 - 1.4996i

  -0.0143          

Kpc2 =

    3.2101    0.2465   -0.3063   -0.6082

   -1.2774   -0.5843    0.6366   -1.2889

K2 =

    4.0847   -0.4179   -1.0006   -0.4300

    1.4990   -0.7293    0.1077   -2.1771

DESARROLLO DEL PROYECTO EN ANYLOGIC

Despues de calcular las matrices K1 y Kpc2 la segunda parte del trabajo fue hecha en el Any Logic. 

Para hacer la simulación en el programa es precio saber as EDO que serián metidas en el programa para cada controlador:

Model Lonfitudinal

Du= -0.0168*u + 0.1121*alpha + 0.0003*q -0.5608*teta -0.0243*delta_e + 0.0519*delta_t

Dalpha= -0.0164*u - 0.7771*alpha + 0.9945*q + 0.0015*teta - 0.0634*delta_e - 0.0005*delta_t

Dq= -0.0417*u -3.6595*alpha -0.9544*q + 0*teta -3.6942*delta_e + 0.0243*delta_t

Dteta= 0*u + 0*alpha + 1.0000*q + 0*teta + 0*delta_e + 0*delta_t

Model Lateral

Dbeta= -0.1245*beta + 0.0350*p + 0.0414*phi - 0.9962*r - 0.0049*delta_a + 0.0237*delta_r

Dp= -15.2138*beta - 2.0587*p + 0.0032*phi + 0.6458*r - 4.0379*delta_a + 0.9613*delta_r

Dphi= 0*beta + 1.0000*p + 0*phi + 0.0357*r + 0*delta_a + 0*delta_r

Dr=  1.6447*beta -0.0447*p -0.0022*phi -0.1416*r - 0.0568*delta_a - 1.2168*delta_r

Control Longitudinal

  c_e = (0.1742*u+6.5641*alpha-1.6453*q-9.7812*teta)

  c_t = (45.2078*u+569.3838*alpha-101.5472*q-837.9962*teta)

Control Lateral

  c_a = 3.2101*beta + 0.2465*p - 0.3063*phi - 0.6082*r

  c_r = -1.2774*beta - 0.5843*p + 0.6366*phi -1.2889*r

Con las equaciones arriba definidas fui posible meter en el anylogic:

Longitudinal

delta_e = man_e - (0.5140*u+0.9298*alpha-0.3865*q-0.8929*teta)

delta_t = man_t - (27.3818*u-106.8344*alpha+58.4675*q+171.1227*teta)

man_e y man_t son las entradas controladas por nosotros

Lateral

delta_a = man_a-(4.0847*beta-0.4179*p-1.0006*phi-0.4300*r)

delta_r = man_r-(1.4990*beta-0.7293*p+0.1077*phi-2.1771*r)

man_a y man_r son las entradas controladas por nosotros.

Control de la movimientación del avión en los ejes X,Y y Z.

v = u (velocidad total)

vx = vxy*cos(beta)

vy = vxy*sin(beta)

vz = v*sin(teta)

vxy = v*cos(teta)

RESULTADO DE LAS SIMULACIONES

DELTA_E: ELEVATOR

DELTA_T: THRUST

DELTA_A: AILERON

DELTA_R: RUDDER